Logika formalna

Logika formalna , abstrakcyjne badanie zdań, twierdzeń lub asertywnie używanych zdań i argumentów dedukcyjnych. Dyscyplina abstrahuje od treści tych elementów struktury lub formy logiczne, które one ucieleśniają. Logik zwyczajowo używa notacji symbolicznej, aby wyrazić takie struktury w sposób jasny i jednoznaczny oraz aby umożliwić łatwiejsze zastosowanie manipulacji i testów trafności. Chociaż poniższa dyskusja swobodnie wykorzystuje techniczną notację współczesnej logiki symbolicznej, jej symbole są wprowadzane stopniowo i wraz z towarzyszącymi im objaśnieniami, tak aby poważny i uważny czytelnik mógł śledzić rozwój idei.

Logika formalna jest badaniem a priori, a nie empirycznym. Pod tym względem kontrastuje z naukami przyrodniczymi i wszystkimi innymi dyscyplinami, których dane zależą od obserwacji. Jego najbliższa analogia to czysta matematyka; w istocie wielu logików i czystych matematyków uważałoby swoje przedmioty za nierozróżnialne lub tylko za dwa etapy tej samej jednolitej dyscypliny. Nie należy zatem mylić logiki formalnej z empirycznym badaniem procesów rozumowania, które należy do psychologii. Należy ją także odróżnić od sztuki poprawnego rozumowania, czyli praktycznej umiejętności stosowania zasad logicznych w poszczególnych przypadkach; i jeszcze ostrzej, należy ją odróżnić od sztuki przekonywania, w której nieważne argumenty są czasem bardziej skuteczne niż trafne.

Generalne obserwacje

Prawdopodobnie najbardziej naturalnym podejściem do logiki formalnej jest idea słuszności argumentu znanego jako dedukcyjna. Argument dedukcyjny można z grubsza scharakteryzować jako taki, w którym twierdzi się, że jakieś zdanie (konkluzja) wynika z ścisłej konieczności z jakiegoś innego zdania lub zdań (przesłanek) - tj. Stwierdzenie, że byłoby niespójne lub wewnętrznie sprzeczne przesłanki, ale zaprzeczają wnioskowi.

Jeśli argument dedukcyjny ma odnieść sukces w ustaleniu prawdziwości jego wniosku, muszą zostać spełnione dwa zupełnie różne warunki: po pierwsze, wniosek musi rzeczywiście wynikać z przesłanek - tj. Wyprowadzenie wniosku z przesłanek musi być logicznie poprawne - i po drugie, same przesłanki muszą być prawdziwe. Argument spełniający oba te warunki nazywa się dźwiękiem. Z tych dwóch warunków logik jako taki zajmuje się tylko pierwszym; druga, ustalenie prawdziwości lub fałszywości przesłanek, jest zadaniem jakiejś specjalnej dyscypliny lub wspólnej obserwacji, odpowiedniej do przedmiotu sporu. Gdy wniosek argumentu można poprawnie wyprowadzić z jego przesłanek, to wnioskowanie z przesłanek do wniosku uważa się za słuszne (dedukcyjnie), niezależnie od tego, czy przesłanki są prawdziwe, czy fałszywe.Innymi sposobami wyrażenia faktu, że wniosek jest dedukcyjnie ważny, jest stwierdzenie, że prawdziwość przesłanek daje (lub dawałaby) absolutną gwarancję prawdziwości wniosku lub że wiązałaby się z logiczną niespójnością (w odróżnieniu od zwykłego błąd faktu) przypuszczać, że przesłanki są prawdziwe, ale wniosek fałszywy.

Wnioski dedukcyjne, których dotyczy logika formalna, to, jak sama nazwa wskazuje, te, których ważność nie zależy od jakichkolwiek cech ich przedmiotu, ale od ich formy lub struktury. Stąd dwa wnioski (1) Każdy pies jest ssakiem. Niektóre czworonogi to psy. ∴ Niektóre czworonogi to ssaki. i (2) Każdy anarchista jest zwolennikiem wolnej miłości. Niektórzy członkowie partii rządowej są anarchistami. ∴ Niektórzy członkowie partii rządowej wierzą w wolną miłość. różnią się tematycznie i dlatego wymagają różnych procedur w celu sprawdzenia prawdziwości lub fałszywości ich przesłanek. Ale ich ważność jest zapewnione przez co mają ze sobą wspólnego, a mianowicie, że każdy argument jest postaci (3) Każdy X jest Y . Niektóre ZXjest. ∴ Niektóre Z „S są ý „S.

Linię (3) powyżej można nazwać formą wnioskowania, a (1) i (2) są to wystąpienia tej formy wnioskowania. Litery - X , Y i Z - w (3) oznaczają miejsca, w które można wstawić wyrażenia określonego typu. Symbole używane w tym celu są znane jako zmienne; ich użycie jest analogiczne do użycia xw algebrze, która oznacza miejsce, w które można wstawić cyfrę. Wystąpienie formularza wnioskowania jest tworzone przez zastąpienie wszystkich zawartych w nim zmiennych odpowiednimi wyrażeniami (tj. Takimi, które mają sens w kontekście) i robiąc to w sposób jednolity (tj. Zastępując to samo wyrażenie wszędzie tam, gdzie powtarza się ta sama zmienna). Cechą (3), która gwarantuje, że każda jej instancja będzie ważna, jest jej konstrukcja w taki sposób, że każdy jednolity sposób zamiany jej zmiennych w celu urzeczywistnienia przesłanek automatycznie sprawia, że ​​wniosek jest również prawdziwy, lub innymi słowy, że żadne jej wystąpienie nie może mieć prawdziwych przesłanek, ale fałszywy wniosek. Z racji tej cechy forma (3) jest nazywana ważną formą wnioskowania. W przeciwieństwie do tego, (4) Każdy X to Y . Niektóre Zjest to ý „S. ∴ Some Ż „S są x „y. nie jest prawidłową formą wnioskowania, ponieważ chociaż można tworzyć jej przykłady, w których wszystkie przesłanki i wnioski są prawdziwe, można również tworzyć przypadki, w których przesłanki są prawdziwe, ale wniosek jest fałszywy - np. (5) Każdy pies to ssak. Niektóre skrzydlate stworzenia to ssaki. ∴ Niektóre skrzydlate stworzenia to psy.

Logika formalna jako studium zajmuje się raczej formami wnioskowania niż konkretnymi ich przypadkami. Jednym z jego zadań jest rozróżnianie między prawidłowymi i nieważnymi formami wnioskowania oraz badanie i systematyzowanie relacji zachodzących między prawidłowymi.

Z ideą poprawnej formy wnioskowania ściśle wiąże się koncepcja poprawnej formy zdania. Forma zdania jest wyrażeniem, w którym instancje (tworzone jak poprzednio przez odpowiednie i jednolite zamienniki zmiennych) nie są wnioskami z kilku zdań do konkluzji, lecz raczej zdaniami rozpatrywanymi indywidualnie, a poprawna forma zdania to taka, dla której wszystkie instancje są prawdziwymi propozycjami. Prostym przykładem jest (6) Nic nie jest jednocześnie X i nie X. Logika formalna dotyczy zarówno form zdań, jak i form wnioskowania. Badanie form zdaniowych można w rzeczywistości uczynić tak, aby uwzględnić te z form wnioskowania w następujący sposób: niech przesłanki dowolnej formy wnioskowania (wzięte razem) będą skrócone przez alfa (α), a jego zakończenie przez beta (β) . Wówczas podany powyżej warunek ważności formy wnioskowania „α, a zatem β” sprowadza się do stwierdzenia, że ​​żaden przypadek formy zdania „α i nie-β” nie jest prawdziwy - tj. Że każdy przypadek formy zdania (7) Nie oba: α i nie-β są prawdziwe - lub ta linia (7), w pełni wyrażona, jest oczywiście poprawną formą zdania. Badania form zdaniowych nie można jednak w podobny sposób uwzględnić w badaniu form wnioskowania,dlatego też ze względu na wszechstronność zwykle traktuje się logikę formalną jako badanie form zdań. Ponieważ logik posługuje się formami zdań jest pod wieloma względami analogiczny do sposobu posługiwania się formułami numerycznymi przez matematyka, układy, które konstruuje, są często nazywane rachunkiem.

Znaczna część pracy logika przebiega na bardziej abstrakcyjnym poziomie niż w powyższej dyskusji. Nawet formuła taka jak (3) powyżej, chociaż nie odnosi się do żadnego konkretnego tematu, zawiera wyrażenia takie jak „każdy” i „jest”, o których sądzi się, że mają określone znaczenie, a zmienne mają oznaczać miejsca dla wyrażeń jednego określonego rodzaju (z grubsza rzeczowniki pospolite lub nazwy klas). Możliwe jest jednak - i do niektórych celów jest to niezbędne - studiowanie formuł bez przypisywania im nawet tego stopnia znaczenia. Konstrukcja systemu logicznego obejmuje w istocie dwa rozróżnialne procesy: jeden polega na utworzeniu aparatu symbolicznego - zbioru symboli, reguł łączenia ich w formuły i reguł manipulowania tymi formułami;druga polega na nadaniu tym symbolom i formułom określonych znaczeń. Jeśli zrobi się tylko to pierwsze, mówi się, że system jest nieinterpretowany lub czysto formalny; jeśli to ostatnie jest również zrobione, mówi się, że system jest interpretowany. To rozróżnienie jest ważne, ponieważ okazuje się, że systemy logiczne mają pewne właściwości zupełnie niezależnie od wszelkich interpretacji, jakie można im przypisać. Jako przykład można wziąć aksjomatyczny system logiki, tj. System, w którym pewne nieudowodnione formuły, zwane aksjomatami, są traktowane jako punkty wyjścia, a dalsze wzory (twierdzenia) są na ich podstawie dowodzone. Jak okaże się później (ponieważ okazuje się, że systemy logiczne mają pewne właściwości zupełnie niezależnie od wszelkich interpretacji, jakie można im przypisać. Jako przykład można wziąć aksjomatyczny system logiki, tj. System, w którym pewne nieudowodnione formuły, zwane aksjomatami, są traktowane jako punkty wyjścia, a dalsze wzory (twierdzenia) są na ich podstawie dowodzone. Jak okaże się później (ponieważ okazuje się, że systemy logiczne mają pewne właściwości zupełnie niezależnie od wszelkich interpretacji, jakie można im przypisać. Jako przykład można wziąć aksjomatyczny system logiki, tj. System, w którym pewne nieudowodnione formuły, zwane aksjomatami, są traktowane jako punkty wyjścia, a dalsze wzory (twierdzenia) są na ich podstawie dowodzone. Jak okaże się później (patrz poniżejAksjomatyzacja PC), pytanie, czy sekwencja formuł w systemie aksjomatycznym jest dowodem, czy nie, zależy wyłącznie od tego, które wzory przyjmujemy jako aksjomaty i jakie są zasady wyprowadzania twierdzeń z aksjomatów, a nie od tego, jakie są twierdzenia lub aksjomaty oznaczają. Co więcej, dany, niezinterpretowany system może być na ogół równie dobrze interpretowany na wiele różnych sposobów; stąd studiując niezinterpretowany system, badamy strukturę, która jest wspólna dla różnych interpretowanych systemów. Zwykle logik, który konstruuje system czysto formalny, ma na myśli określoną interpretację, a motywem jego konstruowania jest przekonanie, że gdy ta interpretacja zostanie mu nadana, formuły systemu będą w stanie wyrazić prawdziwe zasady w jakiejś dziedzinie. z refleksji; ale między innymi z powyższych powodówzazwyczaj będzie starał się opisać formuły i określić reguły systemu bez odwoływania się do interpretacji oraz wskazać jako odrębną kwestię interpretację, którą ma na myśli.

Wiele idei użytych do przedstawienia logiki formalnej, w tym niektóre wspomniane powyżej, rodzi problemy należące raczej do filozofii niż do samej logiki. Oto przykłady: Jaka jest poprawna analiza pojęcia prawdy? Co to jest zdanie i jak ma się do zdania, w którym jest wyrażone? Czy istnieją jakieś rodzaje rozsądnego rozumowania, które nie są ani dedukcyjne, ani indukcyjne? Na szczęście można nauczyć się logiki formalnej bez zadowalających odpowiedzi na takie pytania, podobnie jak matematykę można uprawiać bez odpowiedzi na pytania należące do filozofii matematyki, takie jak: Czy liczby są rzeczywistymi przedmiotami czy konstrukcjami myślowymi?